已知三元二次型xTAx=x12+x22+x32+2x1x3+2ax1x3+2x2x3的秩为2，则其规范形为_________．

admin2014-05-19 98

问题已知三元二次型x^TAx=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₃+2ax₁x₃+2x₂x₃的秩为2，则其规范形为_________．

选项

答案y₁²一y₃²．

解析二次型矩阵

因为｜A｜=(a+2)(a一1)²，由秩r(A)=2，易见a=一2．由

可知矩阵A的特征值为3，一3，0．从而正交变换下二次型标准形为3y₁²一3y₂²，故其规范形为y₁²一y₃²．

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