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  3. 已知4阶方阵A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1＋2α2－α3＝β，α1＋α2＋α3＋α4＝β，2α1＋3α2＋α3＋2α4＝β，k1，k2为任意常数，那么Aχ＝β通解为( )

已知4阶方阵A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1＋2α2－α3＝β，α1＋α2＋α3＋α4＝β，2α1＋3α2＋α3＋2α4＝β，k1，k2为任意常数，那么Aχ＝β通解为( )

admin2017-03-08  90
问题 已知4阶方阵A＝(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1＋2α2－α3＝β，α1＋α2＋α3＋α4＝β，2α1＋3α2＋α3＋2α4＝β，k1，k2为任意常数，那么Aχ＝β通解为(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案B
解析 由α1＋2α2－α3＝β知

    即γ1＝(1，2，－1，0)T是Aχ＝β的解．同理γ2＝(1，1，1，1)T，γ3(2，3，1，2)T也均是Aχ＝B的解，那么
    η1＝γ1－γ2＝(0，1，－2，－1)T，
    η2＝γ3－γ2＝(1，2，0，1)T
是导出组Aχ＝0的解，并且它们线性无关．于是Aχ＝0至少有两个线性无关的解向量，有n－r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)＝r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)＝2，从而n－r(A)＝2，因此η1，η2就是Aχ＝0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．
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