为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2 000 N，提升速度为3 m/s．在提升过程中，污泥以20 N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，

admin2017-04-24 41

问题为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2 000 N，提升速度为3 m/s．在提升过程中，污泥以20 N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)

选项

答案作x轴如图2．18，将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 ω=ω₁+ω₂+ω₃ 其中ω₁是克服抓斗自重作的功；ω₂是克服缆绳所作的功；ω₃是提升污泥所作的功．由题设可知 ω₁=400×30=12 000 dω₂=50(30一x)dx 从而 ω₂=∫₀³⁰50(30一x)dx=22 500 在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所作的功为 dω₃=3(2 000 一 20t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间[*]=10，所以 ω₃=3(2 000 一 20t)dt=57 000 则共需作功 ω=12 000+22 500+57 000=91 500 (J)． [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

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