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  3. 求下列微分方程的通解： (Ⅰ)y′+y=1； (Ⅱ)y′=； (Ⅲ)x2ydx－(x3+y3)dy=0； (Ⅳ)y′=

求下列微分方程的通解： (Ⅰ)y′+y=1； (Ⅱ)y′=； (Ⅲ)x2ydx－(x3+y3)dy=0； (Ⅳ)y′=

admin2016-10-26  49
问题 求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)y′+y=1；   
(Ⅱ)y′=；
(Ⅲ)x2ydx－(x3+y3)dy=0；
(Ⅳ)y′=
选项
答案(Ⅰ)这是一阶线性非齐次微分方程，两边同乘[*]，得 [*] 积分得 y=x2[*]+x2，其中C为任意常数． (Ⅱ)注意到如果将x看作y的函数，则该方程可改写为[*]－yx=y3，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘μ=e∫－ydy=[*]得[*]．积分得 x=[*]－y2－2，其中C为任意常数． (Ⅲ)显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解．这里若将x看作y的函数，原方程可改写为[*]．这还是一个伯努利方程．令u=x3，原方程又可改写为[*]u=3y2．而[*]，于是两边同乘μ=[*]dy+C=3ln｜y｜+C，即x3=Cy3+3y3ln｜y｜，其中C为任意常数． (Ⅳ)这是伯努利方程，此方程可改写为2yy′=[*] [*]． 即得通解为 y2=C(x－1)－(x－1)ln｜x－1｜+1，其中C为任意常数．
解析
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考研数学一

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