已知n维向量组α1,α2，…，αs线性无关，则n维向量组β1β2，…，βs也线性无关的充分必要条件为

admin2020-03-24 41

问题已知n维向量组α₁,α₂，…，α_s线性无关，则n维向量组β₁β₂，…，β_s也线性无关的充分必要条件为

选项 A、α₁,α₂，…，α_s可用β₁β₂，…，β_s线性表示．
B、β₁β₂，…，β_s可用α₁,α₂，…，α_s线性表示．
C、α₁,α₂，…，α_s与β₁β₂，…，β_s等价．
D、矩阵(α₁,α₂，…，α_s)和(β₁β₂，…，β_s)等价．

答案D

解析从条件A可推出β₁β₂，…，β_s的秩不小于α₁,α₂，…，α_s的秩β₁β₂，…，β_s线性无关．即A是充分条件，但它不是必要条件．
条件C也是充分条件，不是必要条件．
条件B既非充分的，又非必要的．
两个矩阵等价就是它们类型相同，并且秩相等．现在(α₁,α₂，…，α_s)和(β₁β₂，…，β_s)都是n×s矩阵，(α₁,α₂，…，α_s)的秩为s，于是β₁β₂，…，β_s线性无关(即矩阵(β₁β₂，…，β_s)的秩也为s)

(α₁,α₂，…，α_s)和(β₁β₂，…，β_s)等价．

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考研数学三

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