2. 考研
  3. 设A是三阶可逆矩阵．如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11+A22+A33=_____________．

设A是三阶可逆矩阵．如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11+A22+A33=_____________．

admin2016-11-03  41
问题 设A是三阶可逆矩阵．如果A－1的特征值为1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11+A22+A33=_____________．
选项
答案1
解析 Aii(i=1，2，3)为伴随矩阵A*的主对角线上的元素，其和A11+A22+A33恰等于A*的迹，即tr(A*)=A11+A22+A33．
但矩阵的迹又等于其特征值之和，于是归结求出A*的特征值．其求法有两种方法．
方法一  由题设知，A的特征值为λ1=1，λ2=1／2，λ3=1／3，于是｜A｜=λ1λ2λ3=1／6，则A*的特征值分别为

则    A11+A22+A33=tr(A*)=λ1*+λ2*+λ3*=1／6+1／3+1／2=1．
方法二  由AA*=｜A｜E=(1／6)E，即(6A)A*=E，得到
A*=(6A)－1=(1／6)A－1．
由A－1的特征值为1，2，3，得到A*的三个特征值分别为
λ1*=(1／6).1=1／6， λ2*=(1／6).2=1／3， λ3*(1／6).3=1／2，
故    A11+A22+A33=λ1*+λ2*+λ3*=1／6+1／3+1／2=1．
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考研数学一

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