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  3. 设幂级数anxn，当n＞1时，an－2=n(n－1)an，且a0=4，a1=1． (1)求级数anxn的和函数S(x)； (2)求S(x)的极值．

设幂级数anxn，当n＞1时，an－2=n(n－1)an，且a0=4，a1=1． (1)求级数anxn的和函数S(x)； (2)求S(x)的极值．

admin2020-04-22  28
问题 设幂级数anxn，当n＞1时，an－2=n(n－1)an，且a0=4，a1=1．
(1)求级数anxn的和函数S(x)；
(2)求S(x)的极值．
选项
答案(1)设S(x)=[*]anxn，则 S′(x)=[*]nanxn－1，S″(x)=[*]n(n一1)anxn－2． 因 an－2=n(n一1)an， 故 S″(x)=[*]akxk=S(x)， 即 S″(x)一S(x)=0． ① 式①的特征方程为r2一1=0，解得r1=1，r2=－1．其通解为 S(x)=c1ex+c2e－x． 因S′(x)=c1ex－c2e－x，a0=4，a1=1，故 S(0)=4， S′(0)=1． 代入通解式中得[*]则所求的和函数为 [*] (2)由S′(x)=[*]e－x=0，解得 [*] 又S″(x)=[*]时，S(x)取得极小值： [*]
解析 利用题设求出S(x)所满足的微分方程，再利用初始条件求出特解即得S(x)的表示式，可用二阶导数法求得S(x)的极值．
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