求微分方程y"+2y’+y=xex的通解．

admin2018-09-20 79

问题求微分方程y"+2y’+y=xe^x的通解．

选项

答案特征方程r²+2r+1=0的两个根为r₁=r₂=一1，对应齐次方程的通解为 Y=(C₁+C₂x)e^-x．设所求方程的特解为y*=(ax+b)e^x，则 (y*)’=(ax+a+b)e^x， (y*)”=(ax+2a+b)e^x．代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e^x=xe^x．解得[*]则 [*] 最后得所求通解y=(C₁+C₂x)e^-x+[*]，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学三

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若由曲线y=，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．
设I=xydxdy，其中D由曲线y=y=一x和y=所围成，则I的值为()．
[*]积分区域为圆域的一部分，被积函数又为f(x2+y2)的形式，应用极坐标系计算．所给二次积分的积分区域为它为圆域x2+y2≤a2在第一象限的1/2，即D={(r，θ)10≤r≤a，0≤θ≤π/4)．应改换为极坐标系计算：
设方程xn+nx—1=0，其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数xnα收敛。
证明：（Ⅰ）对任意正整数n，都有成立；（Ⅱ）设an=1+—lnn（n=1，2，…），证明{an}收敛。
(16年)设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令(Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度；(Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由；(Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．

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