设0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求证：｜xn｜收敛并求xn．

admin2017-05-18 41

问题设0＜x₀＜1，x_n+1=x_n(2－x_n)，求证：｜x_n｜收敛并求

x_n．

选项

答案令f(x)=x(2一x)，则x_n+1=f(x_n)．易知 f′(x)=2(1一x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x₀＜1[*]x₁=x₀(2一x₀)=1一(x₀一1)²∈(0，1)．若x_n∈(0，1)[*]x_n+1=x_n(2一x_n)∈(0，1)．又x₁一x₀=x₀(1一x₀)＞0[*]x_n=a．由递归方程得a=a(2一a)．显然a＞0[*]x_n=1．

解析

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考研数学一

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设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
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