2. 考研
  3. 求下列三重积分： (Ⅰ)I=xy2z3dV，其中Ω是由曲面z=xy，y=x，z=0，x=1所围成的区域； (Ⅱ)I=，y=0，z=0，x+z=围成； (Ⅲ)I=(1+x4)dV，其中Ω由曲面x2=y2+z2，x=1，x=2围成．

求下列三重积分： (Ⅰ)I=xy2z3dV，其中Ω是由曲面z=xy，y=x，z=0，x=1所围成的区域； (Ⅱ)I=，y=0，z=0，x+z=围成； (Ⅲ)I=(1+x4)dV，其中Ω由曲面x2=y2+z2，x=1，x=2围成．

admin2018-11-21  59
问题 求下列三重积分：
(Ⅰ)I=xy2z3dV，其中Ω是由曲面z=xy，y=x，z=0，x=1所围成的区域；
(Ⅱ)I=，y=0，z=0，x+z=围成；
(Ⅲ)I=(1+x4)dV，其中Ω由曲面x2=y2+z2，x=1，x=2围成．
选项
答案(Ⅰ)空间区域Ω的图形不太直观，但是，它在xOy半回上的投影区域Dxy为由y=0，y=x及x=1所围成的三角形，即图9．54所示，并且Ω的下侧边界是z=0，上侧边界为z=xy．这些条件对确定积分限已足够．Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，(x，y)∈D，y}，Dxy：0≤x≤1，0≤y≤x． [*]dxdy∫0xyxy2z3dz=∫01xdx∫0xy2dy∫0xyz3dz =[*]∫01xdx∫0xy2z4｜0xydy =[*]∫01x5dx∫0xy6dy=[*]． (Ⅱ)Ω是柱形长条区域，上顶是平面x+z=[*]，下底是Oxy平面，即z=0，侧面是柱面y=0，y=[*]与Oxy平面交于直线x=[*]，于是 Ω={(x，y，z)｜0≤z≤[*]一x，(x，y)∈Dxy}，Dxy如图9．55． 也可看成Ω={(x，y，z)｜0≤y≤[*]，(x，y)∈Dxy}．注意y=[*]与Ozx平面交于x=0，Dxy如图9．56．因此有 [*] (Ⅲ)Ω是锥体(顶点是原点，对称轴是x轴)被平面x=1，x=2所截部分，被积函数只与x有关，x∈[1，2]，与x轴垂直平面截Ω得圆域D(x)，半径为x，面积为πx2，于是用先二后一(先yz后x)的积分顺序得 I=∫12dx[*](1+x4)dydz=∫12(1+x4)πx2dx =[*]
解析
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考研数学一

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