2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．

设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．

admin2015-08-14  67
问题 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任何a∈[0，1]，有
    ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．
选项
答案令F(a)=∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx-f(a)g(1)，a∈[0，1]，则 F’(a)=g(a)f’(a)一f’(a)g(1)=f’(a)[g(a)一g(1)]． 因为x∈[0，1]时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，即函数f(x)，g(x)在[0，1]上单调递增，又a≤1，所以 F’(a)=f’(a)[g(a)一g(1)]≤0， 即函数F(a)在[0，1]上单调递减，又 F(1)=∫01g(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(1)g(1) =∫01[g(x)f(x)]’dx-f(1)g(1)=g(1)f(1)一g(0)f(0)一f(1)g(1) =一f(0)g(0)=0， 所以，F(a)≥F(1)=0，即 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx—f(a)g(1)≥0， 即 ∫0a g(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．
解析
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考研数学二

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