试求平面x+y一z=0与圆柱面x2+y2+z2一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积．

admin2018-11-22 58

问题试求平面x+y一z=0与圆柱面x²+y²+z²一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积．

选项

答案根据分析，由坐标原点O至椭圆上的任意一点(x，y，z)的距离d=[*]之最大、最小值，就是该椭圆的长、短半轴．为此，设拉朗格日函数为L(x,y,z,λμ)=x²+y²+z²+λ(x+y－z)－ μ(x²+y²+z²－xy－yz－zx－1) ．令方程组 [*] 将上述方程组中的前三个式子分别乘以x、y、z后相加，得2(x²+y²+z²)+λ(x+y—z)一2μ(x²+y²+z²一xy一yz一zx)=0．再将上述方程组的后两个式子化为d²=x²+y²+z²μ．这充分说明μ就是d²的极值，从而说明[*]就是d的极值．于是，问题就转化为求μ．由上述方程组的前四个式子消去参数λ，得 [*] 由此可知，此式的两个根μ₁、μ₂就是d²的极大值、极小值，即a²与b²．由于μ₁μ₂=4，故所求的椭圆的面积是S=πab=[*]=2π．

解析 (1)若能求得该椭圆的长、短半轴a与6，则椭圆的面积为S=πab．
(2)由圆柱面方程x²+y²+z²一xy一yz一zx一1=0可知，此圆柱关于坐标原点0是对称的，故此圆柱的中心轴为通过坐标原点0的某一直线．
(3)由平面方程x+y—z=0可知，它也是通过坐标原点0的．所以，此平面上的椭圆
截线必以坐标原点0为其中心点．
若用解析几何的方法来求解，可知圆柱面方程
x²+y²+z²一xy一yz一zx一1=0
所表示圆柱的中心轴为直线L：x=y=z，且其纬圆半径为

再由直线L与平面x+y—z=0法线间的夹角的余弦为

以及面积的投影关系A=Scosθ，可得

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考研数学一

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设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且=2．证明：(Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)=0；(Ⅱ)存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)；(Ⅲ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．

极限xyln(x2+y2)()

求解线性方程组

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f()=1，f(1)=0．证明：(1)存在η∈(，1)，使得f(η)=η；(2)对任意的k∈(—∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．

设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则=_________．

设n阶(n≥3)矩阵A的主对角元均为1，其余元素均为a，且方程组AX=0只有一个非零解组成基础解系，则a=_________．

设x=2a+b，y=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若以x和y为邻边的平行四边形面积为6，则k的值为_________．

利用中心极限定理证明：

(92年)计算曲面积分其中∑为上半球面的上侧．

(2005)以下四个命题中，正确的是()

Childrenneedexercise.Parentsoftenworrythat【C1】________timeforathleticsorevenforjustplayingontheJungleJimisgoi

宫颈活检鳞癌，正确的诊断是：患者治疗后半年，出现右腿痛，肿胀，伴腰骶部疼痛，同时合并尿少，可能是何种原因造成：

中年男性患者，发现陈旧肺结核10多年，近2日反复咯血，咯血量逐渐增加，但无发热，无呼吸困难，无心悸气短，此时应首选的治疗药物是

外资股是指股份公司向外国投资者发行的股票，不包括向我国香港、澳门、台湾地区发行的股票。(　　)

商业银行可以利用缺口分析法，针对特定阶段，计算到期资产和到期负债之间的差额，以判断商业银行在过去特定时段内的流动性是否充足。()

以下是商业银行被动负债的方式的有()。

Thisplaceisreallywellworth______asecondtime.

[*]

数据字典是软件需求分析阶段的最重要的工具之一，其最基苯的功能是______。

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