2. 考研
  3. (Ⅰ)证明：当x＞0时，2ex＞x2＋2x＋2； (Ⅱ)设方程在(0，＋∞)内有解，求a的取值范围．

(Ⅰ)证明：当x＞0时，2ex＞x2＋2x＋2； (Ⅱ)设方程在(0，＋∞)内有解，求a的取值范围．

admin2021-03-10  61
问题 (Ⅰ)证明：当x＞0时，2ex＞x2＋2x＋2；
(Ⅱ)设方程在(0，＋∞)内有解，求a的取值范围．
选项
答案(Ⅰ)令[*](x)＝2ex－x2－2x－2，[*](0)＝0， [*](x)＝2ex－2x－2，[*](0)＝0， [*](x)＝2(ex－1)＞0(x＞0)， 由[*]得[*](x)＞0(x＞0)， 由[*]得[*](x)＞0(x＞0)． 故2ex＞x2＋2x＋2． (Ⅱ)令 [*] 显然x2(ex－1)2＞0(x＞0)， 今h(x)＝x2ex－(ex－1)2，h(0)＝0， h’(x)＝2xex＋x2ex－2(ex－1)ex＝ex(x2＋2x－2ex＋2)＜0(x＞0)， 由[*]得h(x)＜0(x＞0)， 故f’(x)＜0(x＞0)，即f(x)在(0，＋∞)内单调递减， 再由[*]得a的取值范围为[*]
解析
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考研数学二

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