(1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．

admin2021-01-19 100

问题 (1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为

，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．

选项

答案因曲线向上凸，则y〞＜0；由题设有 [*] 化简，即为y〞＝－(1＋y^′2) 曲线经过点(0，1)，故y(0)＝1，又因为在该点的切线方程为y＝χ＋1，即切线斜率为1，于是y′(0)＝1．现在归结为求[*]的特解．令y′＝P，y〞＝P′，于是得P′＝－(1＋P²) 分离变量解得arctanP＝C₁－χ，以P(0)＝1代入，得 C₁＝arctan1＝[*]，所以y′＝P＝tan([*]－χ)．再积分得 [*] 以y(0)＝1代入，得C₂＝1＋[*]ln2，故所求曲线方程为 [*] 取其含有χ＝0在内的连续的一支为 [*] 当[*]时，cos([*]－χ)→0，y→－∞，故此函数无极小值．当χ＝[*]时，y为极大，极大值y＝1＋[*]ln2．

解析

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考研数学二

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(1998年)设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(χ，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程．并求函数y＝y(χ)的极值．

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