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  3. 设数列{an)单调减少，无界，则幂级数an(x-1)n的收敛域为( )．

设数列{an)单调减少，无界，则幂级数an(x-1)n的收敛域为( )．

admin2022-07-21  2
问题 设数列{an)单调减少，无界，则幂级数an(x-1)n的收敛域为(          )．
选项 A、(-1，1]
B、[-1，1)
C、[0，2)
D、(0，2]
答案C
解析 方法一  观察选项(A)、(B)、(C)、(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在x=1处，故(A)，(B)错误；因为{an}单调减少，为正项级数，将x=2代入幂级数得无界，故原幂级数在x=2处发散，(D)不正确．当x=0时，交错级数(-1)nan满足莱布尼茨判别法收敛，故x=0时(-1)nan收敛．
    方法二  因为sn=an(x-1)n在x=2处发散，那么幂级数an(x-1)n的收敛半径R≤1；{an}单调减少，an=0，根据莱布尼兹定理可知级数an(-1)n收敛，那么幂级数an(x-1)n在x=0处收敛，从而收敛半径R≥1．于是，幂级数an(x-1)n的收敛半径R=1，收敛区间为(0，2)．又由于x=0时幂级数收敛，x=2时幂级数发散．可知收敛域为[0，2)．
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