2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x12一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x12一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最

admin2016-03-16  71
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=3x12+ax22+3x12一4x1x2—8x1x3—4x2x3，其中一2是二次型矩阵A的一个特征值。
(I)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求f在条件x12+x22+x32=1下的最小值，并求最小值点(x1，x2，x3)；
(Ⅲ)如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值。
选项
答案[*] 得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=7，λ3=一2。对λ=7，解齐次方程组(7E—A)x=0得基础解系α1=(1，一2，0)T，α2=(1，0，一1)T，对λ=一2，解齐次方程组(一2E—A)x=0得基础解系α3=(2，1，2)T。因为α1，α2不正交，故需施密特正交化，有 [*] xTAx=yTAy=7yα12+7yα22一2yα32(Ⅱ)条件x12+x22+x32=1，即xTx=1。而xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy，可知f在条件x12+x22+x32=1下的最小值，即为f在条件y12+y22+y32=1下的最小值。由于f(x1，x2，x3)=xTAx=7y12+7y22一2y32≥一2(y12+y22+y32)，[*] (Ⅲ)因为矩阵A的特征值为7，7，一2。所以｜A｜=一98，那么A*的特征值为一14，一14，49。从而A*+kE的特征值为k一14，k一14，k+49。因此，k＞14时，A*+kE正定。
解析
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考研数学三

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