[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

admin2019-04-28 72

问题 [2008年] 设A为三阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃．
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案证一用向量组线性无关的定义证明．为利用题设条件Aα₃=α₂+α₃易想到需用A同时左乘定义等式两边．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0． ① 由题设，有Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃．用A左乘式①两边，得到 k₁Aα₁+k₂Aα₂+k₃Aα₃=一k₁α₁+k₂α₂+k₃α₂+k₃α₃=0． ② 本题中隐含了α₁与α₂线性无关，因为它们是属于不同特征值的特征向量．下面利用这一点证明k₁=k₂=k₃=0．由式①一式②得到2k₁α₁一k₂α₂=0．因α₁，α₂为A的属于不同特征值的特征向量，故α₁，α₂线性无关．因而k₁=k₃=0，将其代入式①得到k₂α₂=0，又因α≠0，故k₂=0．于是α₁，α₂，α₃线性无关．证二用反证法证之．假设α₁，α₂，α₃线性相关，由证一知，α₁与α₂线性无关，故α₃可由α₁，α₂线性表出，不妨设α₃=l₁α₁+l₂α₂，其中l₁，l₂不全为零(若l₁，l₂同时为零，则α₃=0，由Aα₃=α₂+α₃得到α₂=0，这与α₂为特征向量矛盾)．因Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，故 Aα₃=α₂+α₃=α₂+l₁α₁+l₂α₂．又一l₁α₁+l₂α₂=α₂+l₁α₁+l₂α₂，即 α₂+2l₁α₁=0，则α₁与α₂线性相关．这与α₁，α₂线性无关矛盾．故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

考研数学三

设A，B为n阶矩阵，(1)求P．Q；(2)证明：当P可逆时，Q也可逆．

已知A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．

将f(x)＝arctanx展开成x的幂级数．

设f(x)＝，求f(x)的间断点并判断其类型．

求幂级数的收敛域，并求其和函数．

求幂级数的收敛域．

将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于()

若由曲线y＝，曲线上某点处的切线以及x＝1，x＝3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．

设A＝方程组AX＝B有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角阵；(3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．

小儿生长发育顺序的规律，下列哪项正确

()一般将矿块划分为矿房和矿柱，第一步回采矿房，第二步是回采矿柱。

某项目2009年5月1日确定了中标人，2009年5月8日发出了中标通知书，2009年5月12日中标人收到了中标通知书，则签订合同的日期应该不迟于()。

可比性是指同一企业不同时期发生的相同或相似的交易或者事项，应当采用一致的会计政策，不得随意变更。()

习近平总书记在关于推进作风建设的讲话中提出了“三严三实”的重要论述。其中，()就是要求我们心存敬畏、手握戒尺，慎独慎微、勤于自省，遵守党纪国法，做到为政清廉。

在通货膨胀不能完全预期的情况下，通货膨胀将有利于（）。

某投资方案，当贴现率为16％时，其净现值为38万元，当贴现率为18％时，其净现值率为一22万元。该方案的内部收益率()。(河南财经政法大学大学，2011)

设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，λ2=－1／2，λ3=1／2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，－3α1，－α2)，则P－1(A－1+2E)P=_______．

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