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已知矩阵A=。 (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合。
已知矩阵A=。 (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合。
admin
2021-01-25
56
问题
已知矩阵A=
。
(Ⅰ)求A
99
；
(Ⅱ)设三阶矩阵B=(α
1
，α
2
，α
3
)满足B
2
=BA，记B
100
=(β
1
，β
2
，β
3
)，将β
1
，β
2
，β
3
分别表示为α
1
，α
2
，α
3
的线性组合。
选项
答案
(Ⅰ)矩阵A的特征多项式为 ｜λE一A｜=[*]=λ(λ+1)(λ+2)， 则A的特征值为λ
1
=一1，λ
2
=一2，λ
3
=0。 解线性方程组(λ
i
E—A)x=0(i=1，2，3)可得特征值λ
1
=一1，λ
2
=一2，λ
3
=0对应的特征向量分别为 α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(1，2，0)
T
，α
3
=(3，2，2)
T
。 令P=(α
1
，α
2
，α
3
)，则P
-1
AP=[*]，所以 [*] (Ⅱ)由B
2
=BA→B
3
=BBA=B
2
A=BA
2
→…→B
100
=BA
99
，即 (β
1
，β
2
，β
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)[*]， 则 β
1
=(2
99
一2)α
1
+(2
100
一2)α
2
， β
2
=(1—2
99
)α
1
+(1—2
100
)α
2
， β
3
=(2—2
99
)α
1
+(2—2
99
)α
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Gtx4777K
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考研数学三
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