2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3) 证明存在ξ∈（0,3），使得f”(ξ)=0.

设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3) 证明存在ξ∈（0,3），使得f”(ξ)=0.

admin2022-09-05  71
问题 设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且
2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)

证明存在ξ∈（0,3），使得f”(ξ)=0.
选项
答案[*]介于f(x)在[2,3]上的最小值和最大值之间，根据连续函数的介值定理，存在ξ∈[2,3]使得[*] 由于f(0)=f(η)=f(ξ)，且0＜η＜ξ≤3，根据罗尔定理，存在ξ1∈（0，η），ξ2∈(η,ξ),使得f’（ξ1)=0,f’(ξ2)=0，从而存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0,3)使得 f”(ξ)=0.
解析
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考研数学三

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