设矩阵A=(aij)n×m的秩为n，记A的元素aij的代数余子式为Aij，并记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 α1=(Ar+1,1，…，Ar+1,n)T α2=(Ar+2,1，…，Ar+2,n)T … αn—

admin2018-11-22 97

问题设矩阵A=(a_ij)_n×m的秩为n，记A的元素a_ij的代数余子式为A_ij，并记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组
α₁=(A_r+1,1，…，A_r+1,n)^T
α₂=(A_r+2,1，…，A_r+2,n)^T
…
α_n—r=(A_n1，…，A_nn)^T
是齐次线性方程组Bx=0的基础解系．

选项

答案由于A的行向量组线性无关，故B的行向量组线性无关，→r(B)=r，→方程组Bx=0的基础解系含n一r个向量，所以，要证明α₁，α₂，…，α_n—r是方程组Bx=0的基础解系，只要证明α₁，α₂，…，α_n—r是Bx=0的线性无关解向量即可．首先，由于[*]a_ijA_ij=0(i=1，2，…，r；k=r+1，…，n)，故α₁，α₂，…，α_n—r都是方程组Bx=0的解向量；其次，由于｜A^*｜=｜A｜^n—1≠0，知A^*的列向量组线性无关，而α₁，…，α_n—k是A^*的后n一r列，故α₁，…，α_n—k线性无关，因此α₁，…，α_n—k是Bx=0的线性无关解向量．

解析

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考研数学一

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