[2013年]设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2一n(n一1)an=0(n≥2)．S(x)是幂级数anxn的和函数．求S(x)的表达式．

admin2019-04-08 157

问题 [2013年]设数列{a_n}满足条件：a₀=3，a₁=1，a_n-2一n(n一1)a_n=0(n≥2)．S(x)是幂级数

a_nxⁿ的和函数．
求S(x)的表达式．

选项

答案上题方程①为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为λ²一1=0，解得λ=±1，于是方程①的通解为 S(x)=c₁e^x+c₂e^-x(其中c₁，c₂为任意常数)． ② 因 3=a₀=a₀0⁰=S(0)， 1=a₁=1·a₁·0⁰=S’(0)，因将S(0)=3与S’(0)=1，代入通解②及其导数S’(x)=c₁e^x一c₂e^-x中得到c₁=2，c₂=1，于是 S(x)=2e^x+e^-x．

解析

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考研数学一

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