n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

admin2020-03-02 50

问题 n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

选项 A、充分必要条件
B、充分而非必要条件
C、必要而非充分条件
D、既非充分也非必要条件

答案A

解析若A～A＝

，则有可逆矩阵P使P^-1AP＝∧，或AP＝P∧．令P＝(γ₁，γ₂，…，γ_n)，即
A(γ₁，γ₂，…，γ_n)＝(γ₁，γ₂，…，γ_n)

＝(a₁γ₁，a₂γ₂，…，a_nγ_n)
从而有
Aγ_i＝a_iγ_i，i＝1，2，…，n．
由P可逆，即有γ_i≠0，且γ₁，γ₂，…，γ_n线性无关．根据定义可知γ₁，γ₂，…，γ_n是A的n个线性无关的特征向量．
反之，若A有n个线性无关的特征向量α₁，α₂，…，α_n，且满足
Aα_i＝λ_iα_i，i＝1，2，…，n．
那么，用分块矩阵有
A(α₁，α₂，…，α_n)＝(α₁，α₂，…，α_n)

由于矩阵P＝(α₁，α₂，…，α_n)可逆，所以P^-1AP＝∧，即A与对角矩阵∧相似．所以应选A．

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考研数学一

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