2. 考研
  3. 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0， ｜f’’’(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f’’(x)在(0，+∞)上有界．

设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0， ｜f’’’(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f’’(x)在(0，+∞)上有界．

admin2016-10-20  100
问题 设f(x)在(0，+∞)三次可导，且当x∈(0，+∞)时｜f(x)｜≤M0，  ｜f’’’(x)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f’’(x)在(0，+∞)上有界．
选项
答案分别讨论x＞1与0＜x≤1两种情形． 1)当x＞1时考察二阶泰勒公式 [*] 两式相加并移项即得 f’’(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+[*][f’’’(η)-f’’’(ξ)]， 故当x＞1时有｜f’’(x)｜≤4M0+[*] 2)当0＜x≤1时对f’’(x)用拉格朗51中值定理，有 f’’(x)=f’’(x)-f’’(1)+f’’(1)=f’’(ξ)(x-1)+f’’(1)，其中ξ∈(x，1)． 从而 ｜f’’(x)｜≤｜f’’’(ξ)｜｜x-1｜+｜f’’(1)｜≤M3+｜f’’(1)｜(x∈(0，1])． 综合即知f’’(x)在(0，+∞)上有界．
解析
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考研数学三

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