2. 考研
  3. 对于函数f(x)，如果存在一点c，使得f(c)＝c，则称c为f(x)的不动点． (1)作出一个定义域与值域均为[0，1]的连续函数的图形，并找出它的不动点； (2)利用介值定理证明：定义域为[0，1]，值域包含于[0，1]的连续函数必定有不动点．

对于函数f(x)，如果存在一点c，使得f(c)＝c，则称c为f(x)的不动点． (1)作出一个定义域与值域均为[0，1]的连续函数的图形，并找出它的不动点； (2)利用介值定理证明：定义域为[0，1]，值域包含于[0，1]的连续函数必定有不动点．

admin2011-11-19  175
问题 对于函数f(x)，如果存在一点c，使得f(c)＝c，则称c为f(x)的不动点．
(1)作出一个定义域与值域均为[0，1]的连续函数的图形，并找出它的不动点；
(2)利用介值定理证明：定义域为[0，1]，值域包含于[0，1]的连续函数必定有不动点．
选项
答案(1)令f(x)＝1－x∈[0，1]，则函数f(x)连续，且值域为[0，1]，其图形如图3所示，则由f(x)＝1－x与f(x)＝x的交点，或1－x＝x可得f(x)＝1－x的不动点为x＝1／2 (2)设f(x)在[0，1]上连续，值域[a，b]∈[0，1]，证存在一点c∈[0，1]，使得f(c)＝c，令F(x)＝f(x)－x，则F(x)在[0，1]上连续且F(0)＝f(0)≥a≥0，F(1)＝F(1)－1≤b－1≤0． 若F(0)＝0或F(1)＝0，则相应的x＝0或x＝1即为所求的不动点； 若F(0)≠0且F(1)≠0，则必F(0)F(1)＜0，由零点定理可知存在一点f∈(0，1)，使得 F(c)＝0，即f(c)＝c，所以定义域为[0，1]，值域包含于[0，1]的连续函数必有不动点． [*]
解析
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考研数学三

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