设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

admin2021-02-25 76

问题设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关．

选项

答案证法1：用定义证明．将矩阵B按列分块，得B=(β₁，β₂，…，β_n)，若有一组数k₁，k₂，…，k_n，使得 k₁β₁+k₂β₂+…+k_nβ_n=0，则 [*] 由于AB=E，在等式两端左乘矩阵A得 [*] 即k₁=0，k₂=0，…，k_n=0，从而向量组β₁，β₂，…，β_n线性无关．证法2：由于B是m×n矩阵，所以r(B)≤n，另一方面， r(B)≥r(AB)=r(E)=n，所以r(B)=n，故B的列向量组β₁，β₂，…，β_n线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念和抽象的向量组线性相关性的证明方法．可以用向量组线性相关性的定义证明，也可以用矩阵的秩进行证明．

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考研数学二

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设f(χ)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫abχf(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ．

对行满秩矩阵Am×n，必有列满秩矩阵Bn×m，使AB=E．

证明

设A是3×4阶矩阵且r(A)＝1，设(1，－2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(－1，2，0，1)T，(2，－4，3，a＋1)T皆为AX＝0的解．(1)求常数a；(2)求方程组AX＝0的通解．

已知n阶矩阵A满足(A-aE)(A-bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．

已知线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解?有唯一解?有无穷多组解?在方程组有无穷多组解时，试求出一般解．

设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

设有向量组(I)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α1＝(1，－1，a＋2)T和向量组(II)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(II)等价?当以为何值

设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=一1，λ3=0；对应λ1，λ2的特征向量依次为P1=(1，2，2)T，P2=(2，1，一2)T，求A。

有关锐利度和模糊度的叙述，错误的是

胶片未经曝光而显影加工处理后产生的密度称

A．温胆汤B．桑杏汤C．止嗽散D．清气化痰丸E．半夏白术天麻汤患者风邪犯肺，症见咳嗽咽痒，微有恶寒发热，舌苔薄白，脉浮。治疗应选用

A、可待因B、喷他佐辛C、二氢埃托啡D、美沙酮E、吗啡常用的吗啡和海洛因成瘾者脱毒治疗时的替代药物是（　　）。

关于环氧树脂涂料的性能，说法正确的有()。

建筑结构材料中，石灰的技术性质主要包括()。

甲公司2015年度实现净利润3．50万元，流通在外的普通股加权平均数为500万股，优先股100万股，优先股股息为每股1元，如果2015年末普通股的每股市价为20元，则甲公司的市盈率是()。

劳动法律行为应当符合的基本要求是()

WheredidHarryspendhisholiday?

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