2. 考研
  3. 设四阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax＝B的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，﹣2，4，0)T，c为任意常数。记B＝(α3，α2，α1，β－α4)，求Bx＝α1－α2的通解。

设四阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax＝B的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，﹣2，4，0)T，c为任意常数。记B＝(α3，α2，α1，β－α4)，求Bx＝α1－α2的通解。

admin2019-12-06  61
问题 设四阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax＝B的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，﹣2，4，0)T，c为任意常数。记B＝(α3，α2，α1，β－α4)，求Bx＝α1－α2的通解。
选项
答案从Ax＝β的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，﹣2，4，0)T可得到以下信息： ①Ax＝0的基础解系包含1个解向量，即4－r(A)＝1，得r(A)＝r(α1，α2，α3，α4)＝3。 ②(1，2，2，1)T是Ax＝β的特解，即α1＋2α2＋2α3＋α4＝β。(1，﹣2，4，0)T是Ax＝0的解向量，即α1－2α2＋4α3＝0，则α1，α2，α3线性相关，结合r(A)＝3可得r(α1，α2，α3)＝2。 显然B((0，﹣1，1，0)T＝α1－α2，即(0，﹣1，1，0)T是Bx＝α1－α2的一个解。由B＝(α3，α2，α1，β－α4)＝(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)，于是r(B)＝r(α1，α2，α3)＝2，则其基础解系包含解向量的个数为2个。 α1－2α2＋4α3＝0说明(4，﹣2，1，0)T是Bx＝0的解。由B＝(α3，α2，α1，α1+＋2α2＋2α3)容易得到B(﹣2，﹣2，﹣1，1)T＝0，说明(﹣2，﹣2，﹣1，1)T也是Bx＝0的解。 于是Bx＝α1－α2的通解为(0，﹣1，1，0)T＋c1(4，﹣2，1，0)T＋c2(﹣2，﹣2，﹣1，1)T，c1，c2为任意常数。
解析
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考研数学二

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