2. 考研
  3. (Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)； (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且=A，则f′+(0)存在，且f

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)； (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且=A，则f′+(0)存在，且f

admin2018-12-29  49
问题 (Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)；
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且=A，则f′+(0)存在，且f′+(0)=A。
选项
答案(Ⅰ)作辅助函数φ(x)=f(x)—f(a)—[*](x—a)，易验证φ(x)满足φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且 [*] 根据罗尔定理，可得至少有一点ξ∈(a，b)，使φ′(ξ)=0，即 [*] 所以f(b)—f(a)=f′(ξ)(b—a)。 (Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可知，存在ξx0∈(0，x0)[*](0，δ)，使得 [*] 又由于[*]=A，对(1)式两边取x0→00时的极限 [*] 故f′+(0)存在，且f′+(0)=A。
解析
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考研数学一

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