(1999年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s．在提升过程中，污泥以20N／s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口

admin2021-01-19 91

问题 (1999年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m／s．在提升过程中，污泥以20N／s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：①1 N×1m＝1J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)

选项

答案作χ轴如图2．18，将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 [*] ω＝ω₁＋ω₂＋ω₃ 其中ω₁是克服抓斗自重作的功；ω₂是克服缆绳所作的功；ω₃是提升污泥所作的功．由题设可知 ω₁＝400×30＝12000 dω₂＝50(30－χ)dχ 从而ω₂＝∫₀³⁰50(30－χ)dχ＝22500 在时间间隔[t，t＋dt]内提升污泥所作的功为 dω₃＝3(2000－20t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间[*]＝10，所以 ω₃＝∫₀¹⁰3(2000－20t)dt＝570000 则共需作功 ω＝12000＋22500＋57000＝91500 (J)

解析

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考研数学二

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考研数学二

计算积分x2y2dxdy，其中D是由直线y=2，y=0，x=－2及曲线x=所围成的区域．

[*]

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曲线y=(x≥0)与x轴围成的区域面积为_______

交换积分次序∫01dyf(x，y)dx=________．

(x2+xy-x)dxdy=_______，其中D由直线y=z，y=2x及x=1围成．

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若函数f(x)在(0，+∞)上有定义，在x=1点处可导，且对于任意的正数a，b总有f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+∞)上处处可导，且f’(x)=．

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