，αTβ＝aibi≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

admin2017-09-15 77

问题

，α^Tβ＝

a_ib_i≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

选项

答案令α^Tβ＝k，则A²＝kA，设AX＝λX，则A²X＝λ²X＝kX，即λ(λ－k)X＝0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ＝或λ＝k．由λ₁＋…＋λ_n＝tr(A)且tr(A)＝k得λ₁＝…＝λ_n-1＝0，λ_n＝k．因为r(A)＝1，所以方程组(0E－A)X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，即λ＝0有n－1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．

解析

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