(2004年试题，三)设有齐次线性方程组试问a取何值时该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2019-05-16 57

问题 (2004年试题，三)设有齐次线性方程组

试问a取何值时该方程组有非零解，并求出其通解．

选项

答案对系数矩阵A进行初等行变换可得[*]当a=0时，rA=11+x₂+…+x_n=0不难求得其基础解系为[*]所以原方程组通解为x=C₁ξ₁+C₂ξ₂+…+C_n-1ξ_n-1，其中C₁，C₂，…，C_n-1是任意常数．当a≠0时，系数矩阵A可由初等行变换化为[*]由已知原方程组有非零解，则[*]此时rA=n一1T，从而原方程组通解为x=Cξ，其中C为任意常数．解析二由已知原方程组有非零解，则系数行列式｜A｜=0，即[*]从而a=0或[*]以下分别采用与解析一中相同的初等行变换，可求得相应基础解系，从而得出通解．

解析矩阵A的行列式｜A｜可以用特征值之积得到，即

因为矩阵B的特征值为

故而矩阵A的特征值为a，a，…，a，a+

从而行列式

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考研数学一

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设f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一n)，则f’(0)=_，f(n+1)(x)=__．

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yOz平面上的曲线y＝√z(1≤z≤4)，绕z轴旋转一周与平面z＝1，z＝4围成一旋转体Ω，设该物体的点密度μ＝r2，其中r为该点至旋转轴的距离，求该物体的质心的坐标．

设总体X的概率密度f(x)＝(一∞＜x＜＋∞)，其中μ为未知参数．若总体X有以下样本值：1000，1100，1200，求μ的最大似然估计值；

设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1—x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2．其中a是参数．求f(x1，x2，x3)=0的解；

(1)设函数f(x)具有一阶连续导数，且f(1)=1，D为不包含原点的单连通区域，在D内曲线积分与路径无关，求f(y)；(2)在(1)的条件下，求a＞0，且取逆时针方向．

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微分方程的特解是______．

(1)设，y’(1)=0．计算变限积分∫1x[t2y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt，使得结果中不含y’’(x)，也不含积分号；(2)求微分方程x2y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=x∈(0，+∞)满足初始条件

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