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  3. 设二维随机变量(X，Y)在区域D上均匀分布，其中D＝{(χ，y)｜｜χ｜＋｜y｜≤1}。又设U＝X＋Y，V＝X－Y，试求： (Ⅰ)U和V，的概率密度fU(u)与fv(v)； (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U，V)和相关系数ρUV。

设二维随机变量(X，Y)在区域D上均匀分布，其中D＝{(χ，y)｜｜χ｜＋｜y｜≤1}。又设U＝X＋Y，V＝X－Y，试求： (Ⅰ)U和V，的概率密度fU(u)与fv(v)； (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U，V)和相关系数ρUV。

admin2017-11-30  50
问题 设二维随机变量(X，Y)在区域D上均匀分布，其中D＝{(χ，y)｜｜χ｜＋｜y｜≤1}。又设U＝X＋Y，V＝X－Y，试求：
    (Ⅰ)U和V，的概率密度fU(u)与fv(v)；
    (Ⅱ)U和V的协方差Cov(U，V)和相关系数ρUV。
选项
答案区域D实际上是以(－1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，－1)为顶点的正方形区域，D的面积为2，(X，Y)的联合概率密度为f(χ，y)＝[*] 已知f(χ，y)就可以求fU(u)与fV(v)，可利用f(χ，y)的对称性。 (Ⅰ)U＝X＋Y，FU(u)＝P{U≤u}＝P{X＋Y≤u}＝[*]f(χ，y)dχdy。 当u＜－1时，FU(u)＝0； 当－1≤u≤1时，FU(u)＝[*] 当u＞1时，FU(u)＝1。 [*] 即U～U[－1，1]。 V＝X－Y，FV(v)＝P{V≤v}＝P{X－Y≤v}＝[*]f(χ，y)dχdy。 当v＜－1时，FV(v)＝0； 当－1≤v≤1时，FV(v)＝[*] 当v＞1时，FV(v)＝1。 [*] 即V～U[－1，1]。 (Ⅱ)Coy(U，V)＝E(UV)－E(U)E(V)，显然E(U)＝E(V)＝0，而 E(UV)＝E[(X＋Y)(X－Y)]＝E(X2－Y2)＝E(X2)－E(Y2)， 由X，Y的对称性得E(X2)＝E(Y2)，所以 Cov(U，V)＝0，ρUV＝[*]＝0。
解析
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考研数学一

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