2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，B=λE+ATA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．

设A是m×n矩阵，B=λE+ATA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．

admin2016-10-20  79
问题 设A是m×n矩阵，B=λE+ATA，证明当λ＞0时，B是正定矩阵．
选项
答案(定义法) 因为BT=(AE+ATA)T=AE+ATA=B，故B是n阶实对称矩阵，[*]维实向量x≠0，有xTBx=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)=λ｜x｜｜2+｜｜Ax｜｜2． 由于x≠0，λ＞0，恒有λ｜｜x｜｜2＞0，而｜｜Ax｜｜2≥0，因此xTBx＞0([*]≠0)，即B正定．
解析
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考研数学三

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