设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα一 2A2α一 A3α=0，令矩阵P=[α Aα A2α]． (1)求矩阵B，使AP=PB； (2)证明A相似于对角矩阵．

admin2019-03-21 58

问题设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A²α线性无关，且满足3Aα一 2A²α一 A³α=0，令矩阵P=[α Aα A²α]．
(1)求矩阵B，使AP=PB；
(2)证明A相似于对角矩阵．

选项

答案(1) AP=A[α Aα A²α]=[Aα A²α A³α]=[Aα A²α 3Aα一2A²α] [*] (2)由(1)有AP=PB，因P可逆，得P^一1AP=B，即A与B相似，易求出B的特征值为0，1，一3，故A的特征值亦为0，1，一3，A_3×3有3个互不相同特征值，因此A相似于对角阵．

解析

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考研数学二

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