设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为2，且矩阵A满足A2+A=0，则与A相似的矩阵是

admin2019-07-10 74

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的秩为2，且矩阵A满足A²+A=0，则与A相似的矩阵是

选项 A、

B、

C、

D、

答案C

解析设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是相应的特征向量，即Aα=λα．用α右乘题设等式条件，得
A²α+Aα=0，即有(λ²+λ)α=0．
因α≠0，故有λ²+λ=0，从而λ=0或λ=一1．又由矩阵A的秩为2可知，矩阵A的特征值为0，一1，一1，实对称矩阵A必与以它的特征值0，一1，一1为主对角线元素的对角矩阵相似．

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