求函数u=x2+y2+z2存约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最人值与最小值．

admin2012-04-22 89

问题求函数u=x²+y²+z²存约束条件z=x²+y²和x+y+z=4下的最人值与最小值．

选项

答案用拉格朗日乘数法求解，引入拉格朗日函数 F(x，y，z，λ，u) =x²+y²+z²+λ(x²+y²-z)+u(x+y+z-4)，为求其驻点，解如下方程组 [*] z=2x²与z=4-2x，从而得到两个驻点P₁(1，1，2)与p₂(-2，-2，8)．对应的函数值分别为u(1，1，2)=6，u(-2，-2，8)=72．比较即知函数u=x²+y²+z²在约束条件z=x²+y²与x+y+z=4下的最大他为72，最小值为 6，分别在点P₂(-2，-2，8)，P₁(1，1，2)取得．

解析

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