2. 考研
  3. (90年)设f(χ)在闭区间[0，c]上连续，其导数f′(χ)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)＝0，试应用拉格朗El中值定理证明不等式 f(a＋b)≤f(a)＋f(b) 其中a、b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．

(90年)设f(χ)在闭区间[0，c]上连续，其导数f′(χ)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)＝0，试应用拉格朗El中值定理证明不等式 f(a＋b)≤f(a)＋f(b) 其中a、b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．

admin2021-01-25  99
问题 (90年)设f(χ)在闭区间[0，c]上连续，其导数f′(χ)在开区间(0，c)内存在且单调减小，f(0)＝0，试应用拉格朗El中值定理证明不等式
    f(a＋b)≤f(a)＋f(b)
    其中a、b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．
选项
答案要证f(a＋b)≤f(a)＋f(b)，就是要证明f(a＋b)－f(a)－f(b)≤0． 又f(0)＝0，所以，只要证明f(a＋b)－f(a)－f(b)＋f(0)≤0． 而f(a＋b)－f(a)－f(b)＋f(0)＝[f(a＋b)－f(b)]－[f(a)－f(0)] ＝f′(ξ2)a－f(ξ1)a＝a[f′(ξ2)－f(ξ1)] 0≤ξ1≤a，b≤ξ2≤a＋b 又f′(χ)单调减少，则f′(ξ2)≤f′(ξ1)，从而有f(a＋b)－f(a)－f(b)＋f(0)≤0． 故f(a＋b)≤f(a)＋f(b)
解析
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考研数学三

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