设函数f(x)在闭区间[－1,1]上具有三阶连续导数,且f(－1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(－1,1)内至少存在一点ξ使f"’(ξ)= 3.

admin2022-09-05 63

问题设函数f(x)在闭区间[－1,1]上具有三阶连续导数,且f(－1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(－1,1)内至少存在一点ξ使f"’(ξ)= 3.

选项

答案由麦克劳林公式得 [*] 其中η介于0与x之间,x∈[－1,1]. 分别令x=－1和x－1,并结合已知条件,得 [*] 两式相减可得f"’(η₁)+f(η₂)=6 由f’"(x)的连续性，f"’(x)在闭区间[η₁，η₂]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m则有 m≤[*][f’"(η₁)+f"’(η₂)]≤M 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η₁，η₂][*](－1,1)使得 f’”(ξ)=[*][f’"(η₁)+f”’(η₂)]=3

解析

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考研数学三

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