2. 考研
  3. 设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2．a+2b)T．β=(1，3，-3)T．试讨论当a，b为何值时， (1)β不能用α1，α2，α3线性表示； (2)β能用α1，α2，α3唯一地线性表示，求表示式

设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2．a+2b)T．β=(1，3，-3)T．试讨论当a，b为何值时， (1)β不能用α1，α2，α3线性表示； (2)β能用α1，α2，α3唯一地线性表示，求表示式

admin2018-06-27  67
问题 设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2．a+2b)T．β=(1，3，-3)T．试讨论当a，b为何值时，
    (1)β不能用α1，α2，α3线性表示；
    (2)β能用α1，α2，α3唯一地线性表示，求表示式；
    (3)β能用α1，α2，α3线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式．
选项
答案记A=(α1，α2，α3)，则问题化归线性方程组AX=β解的情形的讨论及求解问题了． [*] (1)a=0(b任意)时 [*] 方程组AX=β无解，β不能用α1，α2，α3线性表示． (2)当a≠0，a≠b时，r(A｜β)=r(A)=3，方程组AX=β唯一解，即β可用α1，α2，α3唯一表示． [*] AX=β的解为 [*] (3)当a=b≠0时r(A｜β)=r(A)=2，AX=β有无穷多解，即β可用α1，α2，α3线性表示，且表示式不唯一． [*] AX=β有特解[*]，而(0，1，1)T构成AX=0的基础解系，AX=β的通解为 [*]+c(0，1，1)T，c任意， 即β=[*]α2+cα3，c任意．
解析
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考研数学二

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