设a1，a2，…，an是n个互不相同的数，b1，b2，…，bn是任意一组给定的数，证明：存在唯一的多项式f(x)=C0xn－1+C1xn－2+…+Cn－1，使得f(ai)=bi(i=1，2，…，n)．

admin2017-06-14 64

问题设a₁，a₂，…，a_n是n个互不相同的数，b₁，b₂，…，b_n是任意一组给定的数，证明：存在唯一的多项式f(x)=C₀x^n－1+C₁x^n－2+…+C_n－1，使得f(a_i)=b_i(i=1，2，…，n)．

选项

答案设f(x)=C₀x^n－1+C₁x^n－2+…+C_n－1即是该多项式，则有 [*] 上述非齐次线方程组因为其系数行列式为n阶范德蒙行列式，又因a₁，a₂，…，a_n互不相同，故D_n=V_b≠0，由克莱姆法则知方程组存在唯一解(C₀，C₁，…，C_n－1)，故存在唯一的多项式f(x)，使得f(a_i)=b_i(i=1，2，…，n)．

解析

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考研数学一

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