设a＞e，0＜x＜y＜，求证ay-ax＞(cosx-cosy)axlna．

admin2018-06-27 54

问题设a＞e，0＜x＜y＜

，求证a^y-a^x＞(cosx-cosy)a^xlna．

选项

答案把不等式改写成 [*] 注意到(a^x)’=axlna，(cosx)’=-sinx，而｜sinx｜≤1．对f(t)=a^t，g(t)=cost，在区间[x，y]上应用柯西中值定理，即知存在满足0＜x＜ξ＜y＜[*]的ξ，使得 [*] 由于a^x＜a^ξ，0＜sinξ＜1，故由上式可得 a^y-a^x＞(cosx-cosy)a^xlna．

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有若又设f’’(1)存存，求f’’(1)．
设f(x)在[a，b]上有二．阶导数，且f’(x)>0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使
设方程y3+sin(xy)一e2x=0确定曲线y=y(x)．求此曲线y=y(x)在点(0，1)处的曲率圆方程．
已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+Py’+qy=f(x)的三个特解．求这个方程和它的通解：
设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；
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设证明：f(x，y)在点(0，0)处的两个偏导数fx’(0，0)与fy’(0,0)都存在，函数f(x,y)在点(0，0)处也连续；
求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．
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