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  3. [2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．

[2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．

admin2019-04-08  83
问题 [2016年]  设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为(    )．
选项 A、单叶双曲面
B、双叶双曲面
C、椭球面
D、柱面
答案B
解析 由f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3易求得其矩阵为

易知A的特征值为
λ1=a+(n一1)b=1+(3—1)×2=5，  λ2=λ3=a—b=1—2=一1.
或直接计算由
｜λE—A｜==(λ一5)(λ+1)2=0
得到λ1=5，λ2=λ3=一1．故此二次型在正交变换X=QY下的标准形为f(y1，y2，y3)=5y12一y22一y32，因而
f(y1，y2，y3) 5y12一y22一y32=2，
表示双叶双曲面．仅B入选．[img][/img]
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考研数学一

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