2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt， 证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt， 证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．

admin2017-04-11  25
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
    ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt，
证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．
选项
答案当x∈[a，b)时， ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt←→∫ax[f(t)一g(t)]dt≥0， ∫axf(t)dt=∫axg(t)dt←→∫ax[f(t)一g(t)]dt=0， ∫axxf(x)dx≤∫axxg(x)dx←→x[f(x)一g(x)]dx≤0， 令G(x)=∫ax[f(t)一g(t)]dt，则G’(x)=f(x)一g(x)，于是 ∫abx[f(x)一g(x)]dx=∫abxd(∫ax[f(t)一g(t)]dt) [*]x∫ax[f(t)一g(t)]dt｜ab一∫ab{∫ax[f(t)一g(t)dt}dx =一∫ab{∫ax[f(t)一g(t)dt}dx≤0(G(x)=∫ax[f(t)一g(t)]dt≥0)， 即∫abx[f(x)一g(x)]dx≤0，即∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．
解析
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考研数学二

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