设二阶常系数线性微分方程y"+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．

admin2017-04-24 121

问题设二阶常系数线性微分方程y"+αy’+βy=γe^x的一个特解为y=e^2x+(1+x)e^x，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．

选项

答案将y=e^2x+(1+x)e^x代入原方程得 (4+2α+β)e^2x+(3+2α+β)e^x+(1+α+β)xe^x=γe^x 比较同类项的系数有 [*] 解得 a=一3，β=2，γ=一1 即原方程为 y"一3y’+ 2y=一e^x 其特征方程为r²一 3r+2=0 解得 r₁=1，r₂=2 故齐次通解为 [*]=C₁e_x+C₂e_2x 则原方程通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x+e^2x+(1+x)e^x 由于y=e^2x+(1+x)^x为原二阶线性常系数非齐次方程的特解可知e^x和e^2x为原方程对应齐次方程两个解，xe^x为非齐次方程一个解．则齐次方程特征方程为 (r一1)(r一2)=0 即 r²一3r+2=0 对照原方程知，a=一3，β=2 将 y=xe^x代入原方程得y=一1 故原方程为 y"一3y’+2y=一e^x，其通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x+xe^x.

解析

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考研数学二

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