2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′+(a)f′-(b)＜0.证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′+(a)f′-(b)＜0.证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0.

admin2022-08-19  35
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f′+(a)f′-(b)＜0.证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0.
选项
答案不妨设f′+(a)＞0,f′-(b)＜0，根据极限的保号性，由f′+(a)=[*]则存在δ＞0(δ＜b-a)，当0＜x-a＜δ时，[f(x)-f(a)]/(x-a)＞0，即f(x)＞f(a)， 所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a). 同理由f′-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b). 因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f′(ξ)=0.
解析
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考研数学三

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