设n是奇数，将1，2，3，…，n2共n2个数，排成一个n阶行列式，使其每行及每列元素的和都相等，证明：该行列式的值是全体元素之和的整数倍．

admin2019-01-05 101

问题设n是奇数，将1，2，3，…，n²共n²个数，排成一个n阶行列式，使其每行及每列元素的和都相等，证明：该行列式的值是全体元素之和的整数倍．

选项

答案设|A|=[*]其中n=2k+1是奇数，k是整数．设全体元素之和为S，即[*]则每行每列元素之和为[*]．则 [*] 右端行列式中[*](j=2，3，…，n)，其中n=2k+1是奇数，故n²=(2k+1)²仍是奇数，则n²+1是偶数，[*]也是整数．又a_ij(i=2，…，n,j=2，…，n)是整数，故右端行列式的值是整数(由行列式的定义知)，故|A|是全体元素之和S的整数倍．

解析

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考研数学三

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