设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A能否相似于对角矩阵，说明理由．

admin2021-07-27 45

问题设向量α=[a₁，a₂，…，a_n]^T，β=[b₁，b₂，…，b_n]^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0，记n阶矩阵A=αβ^T，求：
A能否相似于对角矩阵，说明理由．

选项

答案A不能相似于对角矩阵，因α≠0，β≠0，故A=αβ^T≠0，r(A)=r≠0(其实r(A)=1)．从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n-r≠n个．故A不能相似对角化．

解析

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考研数学二

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