2. 考研
  3. 设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足 y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x)， y(a)=y(b)=0， 其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数q0＞0使得q(x)≥q0，存在

设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足 y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x)， y(a)=y(b)=0， 其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数q0＞0使得q(x)≥q0，存在

admin2018-11-16  81
问题 设函数y(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且满足
y’’(x)+p(x)y’(x)-q(x)y(x)=f(x)，
y(a)=y(b)=0，
其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数q0＞0使得q(x)≥q0，存在常数F＞0使得︱f(x)︱≤F，求证：当xε[a，b]时︱y(x)︱≤。
选项
答案由y(x)在[a，b]上连续知y(x)在[a，b]上取得它的最大值与最小值，即存在x1ε[a，b]使得y(x1)是y(x)在[a，b]上的最大值，又存在x2ε[a，b]使得y(x2)是y(x)在[a，b]上的最小值。无妨设最大值y(x1)＞0，而最小值y(x2)＜0。由于y(a)=y(b)=0，可见x1ε[a，b]，x2ε[a，b]。 由极大值的必要条件可得y’(x1)=0，y’’(x1)≤0，从而在最大值点x=x1处有f(x1)= y’’(x1)+p(x1)y’(x1)-q(x1)y(x1)=y’’(x1)- q(x1)y(x1)→q(x1)y(x1)=y’’(x1-f(x1)≤-f(x1)→y(x1)≤[*]。 类似由极小值的必要条件可得y’(x2)=0，y’’(x2)≥0，从而在最小值点x=x2处有f(x2)=y’’(x2)+p(x2)y’(x2)-q(x2)y(x2)=y’’(x2)-q(x2)y(x2)→q(x2)y(x2)=y’’(x2)-f(x2)≥-f(x2)→y(x2)≥[*]。 综合以上的讨论即得当xε[a，b]时有[*]。
解析
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考研数学三

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