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设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
admin
2020-03-05
40
问题
设α
i
=(α
i1
，α
i2
，…，α
in
)
T
(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，已知β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量．试判断向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β的线性相关性．
选项
答案
设有一组数k
1
，k
2
，…，k
r
，l，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+lβ=0 (*) 成立，则因β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是齐次线性方程组 [*] 的解，故有β
T
α
i
=0 (i=1，2，…，r)． 对(*)式，左乘β
T
有k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
r
β
T
α
r
+lβ
T
β=0． 得lβ
T
β=0，由于β≠0，知β
T
β=‖β‖
2
≠0，故l=0． 代入(*)式知k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
=0，由于向量组α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，所以得 k
1
=k
2
=…=k
r
=0． 因此，向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性无关．
解析
因为β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
是齐次方程组的解，故有
即β与α
i
(i=1，2，…，r)正交，利用几何直观可知α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性无关．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/C5S4777K
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考研数学一
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