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  3. 随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)．

随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)．

admin2018-06-14  59
问题 随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)；  
(Ⅱ)V=｜X—Y｜的概率密度fV(v)．
选项
答案由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度． (Ⅰ)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度 f(x，y)=fX(x)fY(y)=[*] 所以U=XY的分布函数为(如图3．3) FU(u)=P{XY≤u}=[*]f(x，y)dxdy． 当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1；当0＜u＜1时， FU(u)=∫0udx∫01dy+∫u1dx[*]dx=u—ulnu． 综上得 [*] (Ⅱ)分布函数法．由题设知 [*] 所以V=｜X—Y｜的分布函数FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}． 当v≤0时，FV(v)=0；当v＞0时， FV(v)=P{｜X—Y｜≤v}=P{一v≤X—Y≤v} =[*]f(x，y)dxdy． 由图3．4知，当v≥1时，FV(v)=1；当0＜v＜1时， FV(v)=[*]f(x，y)dxdy=D的面积 =1—2×[*]×(1—v)2=1一(1—v)2， 其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1，｜x一y｜≤v}． 综上得 [*]
解析
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考研数学三

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