2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0≤r≤n)．证明： 其中Er是r阶单位阵．

设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0≤r≤n)．证明： 其中Er是r阶单位阵．

admin2016-09-19  85
问题 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0≤r≤n)．证明：

其中Er是r阶单位阵．
选项
答案A2=A，A的特征值取值为1，0，由A－A2=A(E－A)=O知 r(A)+r(E－A)≤n， r(A)+r(E－A)≥r(A+E－A)=r(E)=n， 故，r(A)+r(E－A)=n，r(A)=r，从而r(E－A)=n－r． 对λ=1，(E－A)X=0，因r(E－A)=n－r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξr； 对λ=0，(0E－A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n－r个线性无关特征向量，设为ξr+1，ξr+2，…，ξn． 故存在可逆阵 P=[ξ1，ξ2，…，ξn]， 使得P－1AP=[*]
解析
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考研数学三

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